Теоретико-множественные решения уравнений n - симплексов

Уравнение $n$-симплекса ($n$-SE) было введено А. Б. Замолодчиковым как обобщение уравнения Янга-Бакстера, являющегося, в этих терминах, уравнением 2-симплекса. В данной статье мы предлагаем некоторые общие подходы к построению решений уравнений $n$-симплексов, описываем некоторые типы решений, вводим операцию, которая, при некоторых условиях, позволяет построить решение $(n + m + k)$-SE из решений $(n + k)$-SE и $(m + k)$-SE. Мы рассматриваем тропикализацию рациональных решений и обсуждаем способы её обобщения. Мы доказываем, что если $G$~--- расширение группы $H$ группой $K$, то мы можем найти решение $n$-SE на $G$ по решениям этого уравнения на $H$ и $K$. Также, мы находим решения параметрического уравнения Янга-Бакстера на $H$ с параметрами из $K$. Для изучения уравнения 3-симплекса нами введены алгебраические системы с тернарными операциями и приведены примеры этих систем, дающие решения 3-SE. Мы находим все элементарные вербальные решения 3-SE на свободной группе.

  УДК 512.56

Ключевые слова : уравнение Янга-Бакстера, уравнение тетраэдра, уравнение $n$-симплекса, теоретико-множественное решение, группоид, 2-группоид, тернар, терноид, расширение групп, группа виртуальных кос